Числови системи

Числовата система е набор от правила за представяне на числа с помощта на различни цифрови знаци. Системите с числа се класифицират в два типа: непозиционни и позиционни.

В позиционните системи с числа стойността на всяка цифра не зависи от позицията, която заема, тоест от мястото, което заема в съвкупността от цифри. В римската цифрова система има само седем цифри: една (I), пет (V), десет (X), петдесет (L), сто (C), петстотин (D), хиляда (M). Използвайки тези числа (символи), останалите числа се записват чрез събиране и изваждане. Например IV е запис на числото 4 (V — I), VI е числото 6 (V + I) и т.н. Числото 666 е записано в римската система, както следва: DCLXVI.

Тази нотация е по -малко удобна от тази, която използваме в момента. Тук шест са написани с един символ (VI), шест десетки — с друг (LX), шестстотин трета (DC). Много е трудно да се извършват аритметични операции с числа, написани в римската цифрова система. Също така, общ недостатък на непозиционните системи е сложността да се представят достатъчно големи числа в тях, така че да се получи изключително тромава нотация.

Сега помислете за същото число 666 в позиционната система с числа. В него един знак 6 означава броя на единиците, ако е на последното място, броя на десетките, ако е на предпоследното, и броя на стотиците, ако е на трето място от края. Този принцип на писане на числа се нарича позиционен (локален). При такъв запис всяка цифра получава числова стойност не само в зависимост от стила си, но и от това къде стои при запис на числото.

В позиционната бройна система всяко число, изобразено като A = +a1a2a3 … аn-1ан, може да се представи като сума

където н — краен брой цифри в образа на число, иi номер i-go цифра, d — основа на числовата система, i — порядъчен номер на категорията, dм-i — «тегло» от категорията i-ro. Цифри аi трябва да удовлетворява неравенството 0 <= a <= (d — 1).

За десетичен запис d = 10 и аi = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Тъй като числата, състоящи се от единици и нули, могат да се възприемат като десетични или двоични числа, когато се използват заедно, обикновено се посочва основата на числовата система, например (1100)2-двоична система, (1100)10- десетичен.

В цифровите компютри широко се използват системи, различни от десетични: двоични, осмични и шестнадесетични.

Двоична бройна система

За тази система d = 2 и тук са разрешени само две цифри, т.е.аi = 0 или 1.

Всяко число, изразено в двоичната система, се представя като сума от произведението на степента на базата две, умножено по двоичната цифра на дадения бит. Например числото 101.01 може да бъде записано така: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, което съответства на числото в десетичната система: 4 + 1 + 0,25 = 5,25.

В повечето съвременни цифрови компютри двоичната бройна система се използва за представяне на числа в машина и извършване на аритметични операции върху тях.

Двоичната бройна система, в сравнение с десетичната, дава възможност да се опростят схемите и схемите на аритметичното устройство и устройството с памет и да се увеличи надеждността на компютъра. Цифрата на всеки бит на двоично число е представена от състоянията «включване / изключване» на такива елементи като транзистори, диоди, които работят надеждно в състоянията «включване / изключване». Недостатъците на двоичната система включват необходимостта от превод според специална програма на оригиналните цифрови данни в двоичната система с числа и резултатите от решението в десетична.

Октална бройна система

Тази система има основа d == 8. Числата се използват за представяне на числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Осмичната система с числа се използва в компютъра като спомагателна при подготовката на проблеми за решаване (в процеса на програмиране), при проверка на работата на машина и отстраняване на грешки в програма. Тази система дава по -кратко представяне на числото от двоичната система. Окталната система с числа ви позволява просто да преминете към двоичната система.

Шестнадесетична бройна система

Тази система има основа d = 16. За представяне на числа се използват 16 знака: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, и знаците A … F представляват десетични числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Шестнадесетичното число (1D4F) 18 ще съответства на десетично 7503, тъй като (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 х 161+ 15 x 16О = (7503)10

Шестнадесетичната нотация позволява двоичните цифри да се записват по -компактно в сравнение с осмичната. Той намира приложение във входни и изходни устройства и устройства за показване на реда на номера на някои компютри.

Двоично-десетична бройна система

Представянето на числа в двоично-десетична система е както следва. Десетичната нотация на числото се взема за основа и след това всяка негова цифра (от 0 до 9) се записва под формата на четирицифрено двоично число, наречено тетрада, тоест не се използва един знак за изобразяват всяка цифра от десетичната система, но четири.

Например десетичната 647,59 би съответствала на BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Двоично-десетичната числова система се използва като междинна бройна система и за кодиране на входни и изходни числа.

Правила за прехвърляне на една бройна система в друга

Обменът на информация между компютърни устройства се осъществява главно чрез числа, представени в двоичната бройна система. Информацията обаче се представя на потребителя в числа в десетичната система, а адресирането на командите се представя в осмичната система. Оттук възниква необходимостта в процеса на работа с компютър да се прехвърлят числа от една система в друга. За да направите това, използвайте следното общо правило.

За да преобразувате цяло число от всяка бройна система в друга, е необходимо последователно да разделите това число на основата на новата система, докато частното не е по -малко от делителя. Номерът в новата система трябва да бъде написан под формата на остатъци от деление, започвайки с последния, тоест отдясно наляво.

Например, нека преобразуваме десетичен 1987 в двоичен:

Десетичното число 1987 в двоичен формат е 11111000011, т.е. (1987)10 = (11111000011)2

При преминаване от всяка система към десетична, числото се представя като сума от мощностите на основата със съответните коефициенти и след това се изчислява стойността на сумата.

Например, нека преобразуваме осмично число 123 в десетично: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, т.е. (123)8 = (83)10

За да се прехвърли дробната част на число от всяка система в друга, е необходимо да се извърши последователно умножение на тази дроб и произтичащите от нея дробни части на произведението въз основа на новата бройна система. Дробната част от число в новата система се формира под формата на цели части от получените продукти, започвайки от първия. Процесът на умножение продължава, докато не се изчисли число с дадена точност.

Например, нека преобразуваме десетичната дроб 0.65625 в двоичната бройна система:

Тъй като дробната част на петия продукт се състои само от нули, по -нататъшното умножение е ненужно. Това означава, че дадената десетична дроб се преобразува в двоична система без грешка, т.е. (0.65625)10 = (0,10101)2.

Конвертирането от осмично и шестнадесетично в двоично и обратно не е трудно. Това е така, защото техните бази (d — 8 и d — 16) съответстват на цели числа на две (23 = 8 и 24 = 16).

За да преобразувате осмични или шестнадесетични числа в двоична бройна система, е достатъчно да замените всяко от техните числа съответно с три или четирицифрено двоично число.

Например, нека преведем осмичното число (571)8 и шестнадесетично число (179)16 към двоичната бройна система.

И в двата случая получаваме един и същ резултат, т.е. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

За да преобразувате число от двоично-десетично в десетично, е необходимо да замените всяка тетрада от числото, представено в двоично-десетична система, с цифра, представена в десетичната система.

Например, нека напишем числото (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 в десетична нотация, т.е. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)