Основи и закони на алгебрата на логиката

Ирландски математик от средата на 19 век Джордж Бул разработи алгебрата на логиката («Изучаване на законите на мисленето»). Следователно алгебрата на логиката също се нарича булева алгебра.

Чрез даване на буквени обозначения, изразяване на операциите на логически трансформации в символи за действие и използване на правилата и аксиомите, установени за тези действия, алгебрата на логиката позволява процесът на разсъждение при решаване на проблем, даден в условията на логиката на изявлението, да бъде напълно описан в алгоритми, тоест да има математически написана програма, решаваща този проблем.

За да обозначи истинността или неточността на твърденията (тоест, за да въведе стойности за оценяване на изявления), алгебрата на логиката използва бинарна система, удобна в този случай. Ако твърдението е вярно, то приема стойността 1, ако е невярно — 0. За разлика от двоичните числа, логическите 1 и 0 не изразяват количество, а състояние.

Така че, в електрически вериги, описани с помощта на булева алгебра, където 1 е наличието на напрежение, а 0 е отсъствието му, подаването на напрежения от няколко източника към един възел на веригата (тоест пристигането на няколко логически единици на it) също се показва като логическа единица, която показва не общото напрежение в възела, а само неговото присъствие.

При описване на входните и изходните сигнали на логическите схеми се използват променливи, които приемат стойностите само на логически 0 или 1. Зависимостта на изходните сигнали от входа се определя логическа операция (функция)… Нека обозначим входните променливи с X1 и X2, а изходът, получен чрез логическа операция върху тях, с y.

Обмисли три основни елементарни логически операции, с помощта на които могат да се описват все по -сложни.

1. Операция ИЛИ — логическо допълнение:

Като се имат предвид всички възможни стойности на променливите, може да се определи операцията ИЛИ като достатъчността на поне една единица на входа, за да се получи такава на изхода. Името на операцията се обяснява със семантичното значение на обединението ИЛИ във фразата: «Ако ИЛИ е един вход, ИЛИ вторият е един, тогава изходът е един.»

2. Операция И — логическо умножение:

От разглеждането на пълния набор от стойности на променливите операцията И се дефинира като необходимостта да се съпоставят всички единици на входовете, за да се получи единица на изхода: „Ако И е един вход, а вторият е единици, тогава изходът е един. «

3. Операция НЕ — логическо отрицание или инверсия. Той се обозначава с лента над променливата.

Когато е обърната, стойността на променливата се обръща.

Основни закони на логическата алгебра:

1. Законът за нулевото множество: продуктът на произволен брой променливи изчезва, ако някоя от променливите е нула, независимо от стойностите на други променливи:

2. Законът на универсалния набор — сумата от произволен брой променливи става една, ако поне една от променливите има стойност една, независимо от други променливи:

3. Законът за повторението — повтарящите се променливи в израза могат да бъдат пропуснати (с други думи, в алгебрата на Бул няма степенуване и умножение по числов коефициент):

4. Законът за двойната инверсия — извършената инверсия два пъти е празна операция:

5. Закон за взаимно допълване — продуктът на всяка променлива и нейната инверсия е нула:

6. Сумата на всяка променлива и нейната обратна стойност е една:

7. Защитни закони — резултатът от извършване на операции за умножение и събиране не зависи от реда, в който променливите следват:

8. Комбинирани закони — по време на операции по умножение и събиране променливите могат да бъдат групирани в произволен ред:

9. Закони за разпространение — разрешено е поставянето на общия коефициент извън скобите:

10. Закони на усвояване — посочете начини за опростяване на изразите с участието на променлива във всички фактори и термини:

11. Законите на Де Морган — инверсията на продукта е сумата от инверсиите на променливите:

инверсията на сумата е продукт на инверсиите на променливите: