Законът на Био-Саварт и теоремата за циркулацията на вектора на магнитната индукция

През 1820 г. френските учени Жан Батист Био и Феликс Савар в хода на съвместните експерименти за изследване на магнитните полета на постоянни токове недвусмислено установяват, че магнитната индукция на постоянен ток, протичащ през проводник, може да се счита за резултат от общото действие на всички секции на този проводник с ток. Това означава, че магнитното поле се подчинява на принципа на суперпозицията (принципа на суперпозицията на полета).

Магнитното поле, създадено от група проводници с постоянен ток, има следното магнитна индукцияче стойността му се определя като векторната сума на магнитните индукции, създадени от всеки проводник поотделно. Тоест, индукцията В на проводника с постоянен ток може да бъде справедливо представена от векторната сума на елементарните индукции dB, принадлежащи към елементарните секции dl на разглеждания проводник с постоянен ток I.

Практически е нереалистично да се отдели елементарен участък от проводник с постоянен ток, т.к D.C. винаги затворен. Но можете да измерите общата магнитна индукция, създадена от проводник, тоест генерирана от всички елементарни части от даден проводник.

По този начин законът на Био-Совар ви позволява да намерите стойността на магнитната индукция B от сечението (известна дължина dl) на проводника, с даден постоянен ток I, на определено разстояние r от този участък на проводника и в определена посока на наблюдение от избраната секция (зададена през синуса на ъгъла между посоката на тока и посоката от участъка на проводника до изследваната точка в пространството близо до проводника):

Експериментално е установено, че посоката на вектора на магнитната индукция лесно се определя по правилото на десния винт или кардана: ако посоката на транслационното движение на кардана по време на въртенето му съвпада с посоката на постоянен ток I в проводника, тогава посока на въртене на дръжката на кардана определя посоката на вектора на магнитната индукция В, получен от даден ток.

Магнитното поле на прав проводник с ток, както и илюстрация на прилагането на закона на Bio-Savart към него, са показани на фигурата:

Така че, ако интегрираме, тоест добавим, приноса на всяка от малките секции на постоянен проводник с постоянен ток към общото магнитно поле, получаваме формула за намиране на магнитната индукция на проводник с ток при определен радиус R от него.

По същия начин, използвайки закона на Bio-Savard, можете да изчислите магнитните индукции от постоянни токове с различни конфигурации и в определени точки на пространството, например магнитната индукция в центъра на кръгла верига с ток се намира от следната формула:

Посоката на вектора на магнитната индукция лесно се открива според правилото на кардана, само сега кардана трябва да се завърти по посока на затворения ток, а движението напред на кардана ще покаже посоката на вектора на магнитната индукция.

Често изчисленията по отношение на магнитното поле могат да бъдат опростени, ако вземем предвид симетрията на конфигурацията на токовете, дадена от генериращото поле. Тук можете да използвате теоремата за циркулацията на вектора на магнитната индукция (като теоремата на Гаус в електростатиката). Какво е «циркулация на вектора на магнитната индукция»?

Нека да изберем в пространството определен затворен контур с произволна форма и да посочим условно положителната посока на обхождането му.За всяка точка от този контур можете да намерите проекцията на вектора на магнитната индукция В върху допирателната към контура в тази точка. Тогава сумата от произведенията на тези величини по елементарните дължини на всички сечения на контура е циркулацията на вектора на магнитната индукция В по този контур:

На практика всички токове, които създават общо магнитно поле тук, могат или да проникнат в разглежданата верига, или някои от тях могат да бъдат извън нея. Според теоремата за циркулация: циркулацията на вектора на магнитната индукция В на постоянни токове в затворен контур е числено равна на произведението на магнитната константа mu0 от сумата на всички постоянни токове, които проникват в контура. Тази теорема е формулирана от Андре Мари Ампер през 1826 г .:

Помислете за горната фигура. Тук токовете I1 и I2 проникват във веригата, но те са насочени в различни посоки, което означава, че имат условно различни знаци. Положителният знак ще има ток, чиято посока на магнитната индукция (според основното правило) съвпада с посоката на байпаса на избраната верига. За тази ситуация теоремата за циркулация приема формата:

Като цяло теоремата за циркулацията на вектора на магнитната индукция В следва от принципа на суперпозицията на магнитното поле и закона на Биот-Савард.

Например извеждаме формулата за магнитната индукция на постоянен проводник с постоянен ток. Нека изберете контур под формата на кръг, през центъра на който преминава този проводник, а проводникът е перпендикулярен на равнината на контура.

Така центърът на окръжността лежи директно в центъра на проводника, тоест в проводника. Тъй като картината е симетрична, векторът В е насочен тангенциално към окръжността и проекцията му върху тангенсата съответно е еднаква навсякъде и е равна на дължината на вектора В. Теоремата за циркулация се записва по следния начин:

Следователно следва формулата за магнитната индукция на прав проводник с постоянен ток (тази формула вече е дадена по -горе). По подобен начин, използвайки циркулационната теорема, лесно може да се намерят магнитните индукции на симетрични конфигурации на постоянни токове, където картината на полевите линии е лесно да се представи.

Един от практически важните примери за прилагане на циркулационната теорема е намирането на магнитното поле вътре в тороидален индуктор.

Да предположим, че върху картонена рамка във формата на поничка има тороидална бобина, навита кръгла на кръгла, с броя на завъртанията N. При тази конфигурация линиите за магнитна индукция са затворени вътре в поничката и са концентрични (една в друга) кръгове във форма.

Ако погледнете по посоката на вектора на магнитната индукция по вътрешната ос на поничката, се оказва, че токът е насочен навсякъде по часовниковата стрелка (в съответствие с правилото на кардана). Помислете за една от линиите (показани в червено) на магнитната индукция вътре в бобината и я изберете като кръгъл контур с радиус r. Тогава теоремата за циркулацията за дадена верига се записва, както следва:

И магнитната индукция на полето вътре в бобината ще бъде равна на:

За тънка тороидална намотка, където магнитното поле е почти равномерно по цялото си напречно сечение, е възможно да се запише израза за магнитната индукция, сякаш за безкрайно дълъг соленоид, като се вземе предвид броят на завъртанията на единица дължина — n :

Помислете сега за безкрайно дълъг соленоид, където магнитното поле е изцяло вътре. Прилагаме циркулационната теорема към избрания правоъгълен контур.

Тук векторът на магнитната индукция ще даде ненулева проекция само на страна 2 (дължината му е равна на L). Използвайки параметъра n — «броят на завъртанията на единица дължина», получаваме такава форма на циркулационната теорема, която в крайна сметка се редуцира до същата форма като за много тонаCoy тороидална намотка: