Защо комплексните числа се използват за изчисления в AC вериги

Както знаете, комплексните числа се използват за решаване на някои типични проблеми в електротехниката. Но за какво се използват и защо се прави по този начин? Това ще се опитаме да разберем в хода на тази статия. Факт е, че сложният метод или методът на сложни амплитуди е удобен за изчисляване на сложни AC вериги. И за начало, нека си припомним малко основи на математиката:

Както можете да видите, комплексното число z включва въображаемата и реалната част, които се различават една от друга и са обозначени по различен начин в текста. Самото комплексно число z може да бъде записано в алгебрична, тригонометрична или експоненциална форма:

Исторически произход

Смята се, че идеята за въображаемите числа започва да се заражда през 1545 г., когато италианският математик, инженер, философ, лекар и астролог Джироламо Кардано публикува този метод за решаване на уравнения в трактата си „Великото изкуство“, където, според между другото, той призна, че Николо му е дал идеята Тарталия (италиански математик) 6 години преди публикуването на тази работа. В работата си Крадано решава уравнения от вида:

В процеса на решаване на тези уравнения ученият беше принуден да признае съществуването на някакво «нереално» число, квадратът на което ще бъде равен на минус едно «-1», тоест, сякаш има квадратен корен от отрицателно число и ако сега е на квадрат, ще се окаже съответно отрицателното число под корена. Кардано посочи правилото за умножение, според което:

В продължение на три века математическата общност е в процес на свикване с новия подход, предложен от Кардано. Въображаемите числа постепенно се вкореняват, но математиците не са склонни да приемат. Едва с публикуването на произведенията на Гаус по алгебра, където той доказа основната теорема на алгебрата, комплексните числа най -накрая бяха напълно приети, 19 век беше в двора.

Въображаемите числа се превърнаха в истинска пръчка — спасител за математиците, защото най -сложните проблеми станаха много по -лесни за решаване с приемането на съществуването на въображаеми числа.

Така скоро се стигна до електротехниката. Електрическите вериги с променлив ток понякога бяха много сложни и трябваше да се изчислят много интеграли, за да се изчислят, което често е много неудобно.

И накрая, през 1893 г. блестящият електроинженер Карл Август Щайнметц говори в Чикаго на Международния електротехнически конгрес с доклад „Комплексни числа и тяхното приложение в електротехниката“, който всъщност бележи началото на практическото приложение от инженерите на сложния метод на изчисляване на електрически вериги за променлив ток.

Това знаем от курса по физика променлив ток — това е течение, което се променя във времето както по величина, така и по посока.

В технологиите съществуват различни форми на променлив ток, но най -често срещаният днес е променлив синусоидален ток, това е, което се използва навсякъде, с помощта на него се предава електричество, под формата на променлив ток, което се генерира, преобразувано от трансформатори и се консумира от товари. Синусоидалният ток се променя периодично според синусоидален (хармоничен) закон.

Ефективните стойности на тока и напрежението са по -малки от стойностите на амплитудата от корена на два пъти:

В сложния метод ефективните стойности на токове и напрежения се записват, както следва:

Имайте предвид, че в електротехниката въображаемата единица се обозначава с буквата «j», тъй като буквата «i» вече се използва тук за обозначаване на ток.

От Законът на Ом определя комплексната стойност на съпротивлението:

Добавянето и изваждането на комплексни стойности се извършва в алгебрична форма, а умножението и разделянето в експоненциална форма.

Нека да разгледаме метода на сложни амплитуди, използвайки примера на конкретна верига с определени стойности на основните параметри.

Пример за решаване на задача с помощта на комплексни числа

Дадено:

• напрежение на бобината 50 V,

• резисторно съпротивление 25 Ohm,

• индуктивност на намотката 500 mH,

• електрическият капацитет на кондензатора е 30 микрофарада,

• съпротивление на намотката 10 Ohm,

• мрежова честота 50 Hz.

Намерете: показания на амперметър и волтметър, както и на ватметър.

Решение:

За начало записваме сложното съпротивление на последователно свързани елементи, което се състои от реални и въображаеми части, след което откриваме сложното съпротивление на активно-индуктивен елемент.

Спомняйки си! За да получите експоненциалната форма, намерете модула z, равен на квадратния корен от сумата от квадратите на реалната и въображаемата части, и phi, равен на арктангенса на частното от разделянето на въображаемата част на реалната част.

След това намираме тока и съответно показанията на амперметъра:

И така, амперметърът показва ток от 0,317 А — това е токът през цялата последователна верига.

Сега ще намерим капацитивното съпротивление на кондензатора, след което ще определим сложното му съпротивление:

След това изчисляваме общия комплексен импеданс на тази верига:

Сега откриваме ефективното напрежение, приложено към веригата:

Волтметърът ще покаже ефективно напрежение от 19,5 волта.

Накрая откриваме мощността, която ще покаже ватметърът, като се вземе предвид фазовата разлика между ток и напрежение

Ватметърът ще покаже 3.51 вата.

Сега разбирате колко важни са комплексните числа в електротехниката. Те се използват за удобно изчисляване на електрическите вериги. Много електронни измервателни устройства работят на същата основа.