Закони за алгебра на контактна верига, булева алгебра

Аналитичен запис на структурата и условията на работа на релейните вериги дава възможност за извършване на аналитични еквивалентни трансформации на вериги, тоест чрез трансформиране на структурни формули, намиране на схеми, сходни по своето действие. Методите за преобразуване са особено напълно разработени за структурни формули, изразяващи контактни вериги.

За контактни вериги се използва математическият апарат на алгебрата на логиката, по -точно, един от най -простите му разновидности, наречен изчисление на предложението или булева алгебра (по името на математика от миналия век Дж. Бул).

Предложното смятане първоначално е разработено за изследване на зависимостта (истинността или неверността на сложните преценки от истинността или неверността на простите съждения, които ги съставят. По същество изчислението на предложението е алгебра от две числа, тоест алгебра, в която всеки отделен аргумент и всяка функция могат да имат една от двете стойности.

Това определя възможността за използване на булева алгебра за трансформиране на контактни вериги, тъй като всеки от аргументите (контактите), включени в структурната формула, може да приема само две стойности, тоест може да бъде затворен или отворен, а цялата функция, представена от структурната формулата може да изрази или затворена или отворена верига.

Булева алгебра въвежда:

1) обекти, които, както в обикновената алгебра, носят имена: независими променливи и функции — обаче, за разлика от обикновената алгебра, в булева алгебра и двамата могат да приемат само две стойности: 0 и 1;

2) основни логически операции:

• логическо допълнение (или разединение, логическо ИЛИ, обозначено със знака ?), което се определя, както следва: резултатът от операцията е 0, ако и само ако всички аргументи на операцията са равни на 0, в други случаи резултатът е 1;

• логическо умножение (или свързване, логическо И, означено с ?, или изобщо не е посочено), което се определя по следния начин: резултатът от операцията е 1, ако и само ако всички аргументи на операцията са равни на 1, в други случаи резултатът е 0;

• отрицание (или обратно, логическо НЕ, обозначено с лента над аргумента), което се определя по следния начин: резултатът от операцията има обратната стойност на аргумента;

3) аксиоми (закони на булева алгебра), които определят правилата за трансформиране на логически изрази.

Имайте предвид, че всяка от логическите операции може да се изпълнява както върху променливи, така и върху функции, които по -долу ще бъдат извикани булеви функции… Припомнете си, че по аналогия с обикновената алгебра, в булева алгебра, операцията на логическото умножение има предимство пред операцията на логическото събиране.

Булеви изрази се формира чрез комбиниране по признаци на логически операции на редица обекти (променливи или функции), наречени аргументи на операцията.

Трансформацията на логически изрази, използвайки законите на булева алгебра, обикновено се извършва с цел да се минимизира, тъй като колкото по -опростен е изразът, толкова по -малка е сложността на логическата верига, която е техническото изпълнение на логическия израз.

Законите на булева алгебра са представени като набор от аксиоми и последствия. Те могат да бъдат проверени съвсем просто чрез заместване на различни стойности на променливите.

Техническият аналог на всеки логически израз за булева функция е логическа диаграма… В този случай променливите, от които зависи булева функция, са свързани към външните входове на тази верига, стойността на булева функция се формира на външния изход на веригата и всяка логическа операция в логически израз се реализира от логически елемент.

По този начин за всеки набор от входни сигнали на изхода на логическата верига се генерира сигнал, който съответства на стойността на булева функция на този набор от променливи (по -нататък ще използваме следната конвенция: 0 — нисък сигнал ниво, 1 — високо ниво на сигнала).

При изграждането на логически схеми ще приемем, че променливите се подават към входа в парафазен код (тоест, налични са както директни, така и обратни стойности на променливите).

Таблица 1 показва конвенционалните графични обозначения на някои логически елементи в съответствие с ГОСТ 2.743-91, както и техните чуждестранни аналози.

В допълнение към елементите, които изпълняват трите операции на булева алгебра (И, ИЛИ, НЕ), в табл. 1 показва елементите, които изпълняват операции, получени от основните:

— И -НЕ — отрицание на логическото умножение, наричано още ход на Шефер (означен с |)

— ИЛИ -НЕ — отрицание на логическото допълнение, наричано още стрелата на Пиърс (обозначено с?)

Чрез последователно свързване на логически порти помежду си, можете да реализирате всяка булева функция.

Структурните формули, изразяващи релейни вериги като цяло, т.е.съдържащи символи на реагиращи орли, не могат да се разглеждат като функции на две стойности, изразяващи само затворена или отворена верига. Следователно при работа с такива функции възникват редица нови зависимости, които надхвърлят границите на булева алгебра.

В булева алгебра има четири двойки основни закони: две измествания, две комбинационни, две разпределителни и две правни инверсии. Тези закони установяват еквивалентността на различните изрази, тоест разглеждат изрази, които могат да бъдат взаимно заместени като заместването на идентичности в обикновената алгебра. Като символ на еквивалентност приемаме символа, който е същият като символа на равенството в обикновената алгебра (=).

Валидността на законите на булева алгебра за контактни вериги ще бъде установена чрез разглеждане на схеми, съответстващи на лявата и дясната страна на еквивалентни изрази.

Закони за пътуване

За добавяне: x + y = y + x

Схемите, съответстващи на тези изрази, са показани на фиг. 1, а.

Лявата и дясната верига представляват нормално отворени вериги, всеки от които се затваря, когато някой от елементите (X или Y) се задейства, тоест тези вериги са еквивалентни. За умножение: x ·y = y ·NS.

Схемите, съответстващи на тези изрази, са показани на фиг. 1б, тяхната еквивалентност също е очевидна.

Ориз. 1

Закони за комбиниране

За добавяне: (x + y) + z = x + (y + z)

За умножение: (x ·у) ·z = x ·(у ·z)

Двойките еквивалентни схеми, съответстващи на тези изрази, са показани на фиг. 2, а, б

Ориз. 2

Закони за разпространение

Умножение спрямо добавяне: (x + y) +z = x + (y + z)

Добавяне срещу умножение. х ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Схемите, съответстващи на тези изрази, са показани на фиг. 3, а, б.

Ориз. 3.

Еквивалентността на тези схеми може лесно да бъде проверена чрез разглеждане на различни комбинации от контактно задействане.

Закони за инверсия

Относно добавянето: NS + в = NS·в

Лентата над лявата страна на израза е знак отрицание или инверсия. Този знак показва, че цялата функция има противоположно значение по отношение на израза под знака на отрицание. Не е възможно да се начертае диаграма, съответстваща на цялата обратна функция.. Ообаче може да се начертае диаграма, съответстваща на израза под знака на отрицание. По този начин формулата може да бъде илюстрирана с диаграмите, показани на фиг. 4, а.

Ориз. 4.

Лявата диаграма съответства на израза x + y, а дясната — NS ·в

Тези две вериги са противоположни една на друга в действие, а именно: ако лявата верига с невъзбудени елементи X, Y е отворена верига, тогава дясната верига е затворена. Ако в лявата верига, когато някой от елементите се задейства, веригата се затваря, а в дясната верига, напротив, се отваря.

Тъй като, в съответствие с дефиницията на отрицателния знак, функцията x + y е противоположна на функцията x + y, тогава е очевидно, че x + y = NS·в.

Относно умножението: NS · в = NS + в

Съответните схеми са показани на фиг. 4, б.

Транслокативни и комбинационни и закони и разпределителния закон на умножението по отношение на събирането (съответстват на подобни закони на обикновената алгебра). Следователно, в случай на трансформация на структурни формули по реда на добавяне и умножение на членове, поставяне на термини извън скоби и разширяване на скоби, можете да следвате правилата, установени за работа с обикновени алгебрични изрази. Разпределителният закон на добавяне по отношение на умножението и законите на инверсията са специфични за булева алгебра.