Поток и циркулация на векторно поле

NSпо материалите на лекцията на Ричард Фейнман

Когато описваме законите на електричеството от гледна точка на векторните полета, ние сме изправени пред две математически важни характеристики на векторното поле: поток и циркулация. Би било хубаво да разберем какви са тези математически понятия и какъв е техният практически смисъл.

На втората част от въпроса е лесно да се отговори веднага, защото концепциите за потока и циркулацията са в основата на Уравненията на Максуел, върху която всъщност почива цялата съвременна електродинамика.

Така, например, законът за електромагнитната индукция може да бъде формулиран по следния начин: циркулацията на електрическото поле E по затворен контур C е равна на скоростта на промяна на потока на магнитното поле B през повърхността S, ограничена от това контур В.

По -нататък ще опишем съвсем просто, като използваме ясни примери с течност, ще опишем как математически се определят характеристиките на полето, от което тези характеристики на полето се вземат и получават.

Вектор полеви поток

За начало нека нарисуваме определена затворена повърхност с напълно произволна форма около изследваната площ. След като изобразим тази повърхност, ние се питаме дали обектът на изследване, който наричаме поле, тече през тази затворена повърхност. За да разберете за какво става въпрос, помислете за прост течен пример.

Да речем, че изследваме полето на скоростта на определена течност. За такъв пример има смисъл да се запитаме: повече ли течност преминава през тази повърхност за единица време, отколкото се влива в обема, ограничен от тази повърхност? С други думи, скоростта на изтичане винаги ли е насочена главно отвътре навън?

С израза „поток на векторно поле“ (и за нашия пример изразът „поток на скорост на флуида“ ще бъде по -точен), ние ще се съгласим да назовем общото количество на въображаема течност, която изтича през повърхността от разглеждания обем, ограничен от дадена затворена повърхност (за скоростта на потока на течността, колко течност следва от обема за единица време).

В резултат на това потокът през повърхностния елемент ще бъде равен на произведението на площта на повърхностния елемент от перпендикулярния компонент на скоростта. Тогава общият (общ) поток през цялата повърхност ще бъде равен на произведението на средния нормален компонент на скоростта, който ще преброим отвътре навън, на общата площ на повърхността.

Сега да се върнем към електрическото поле. Електрическото поле, разбира се, не може да се счита за скоростта на потока на някаква течност, но ние имаме право да въведем математическо понятие за потока, подобно на това, което описахме по -горе като потока на скоростта на течността.

Само в случай на електрическо поле, неговият поток може да бъде определен чрез средната нормална компонента на силата на електрическото поле E. В допълнение, потокът на електрическото поле може да бъде определен не непременно през затворена повърхност, а през всяка ограничена повърхност с ненулева площ S.

Циркулация на векторно поле

На всички е добре известно, че за по-голяма яснота полетата могат да бъдат изобразени под формата на така наречените силови линии, във всяка точка от които посоката на допирателната съвпада с посоката на силата на полето.

Да се ​​върнем към аналогията с течността и да си представим полето на скоростта на течността.Нека си зададем въпрос: циркулира ли течността? Тоест, движи ли се предимно по посока на някакъв въображаем затворен контур?

За по -голяма яснота, представете си, че течността в голям съд по някакъв начин се движи (фиг. А) и ние рязко замразихме почти целия си обем, но успяхме да оставим обема незамразен под формата на равномерно затворена тръба, в която няма триене на течността по стените (фиг. б).

Извън тази тръба течността се е превърнала в лед и следователно вече не може да се движи, но вътре в тръбата течността е в състояние да продължи движението си, при условие че има преобладаващ импулс, който я задвижва например по посока на часовниковата стрелка (фиг. . ° С). Тогава произведението на скоростта на течността в тръбата и дължината на тръбата ще се нарича циркулация на скоростта на течността.

По подобен начин можем да определим циркулация за векторно поле, въпреки че отново не може да се каже, че полето е скоростта на нещо, въпреки това може да се определи математическата характеристика на «циркулацията» по контур.

И така, циркулацията на векторно поле по въображаем затворен контур може да се определи като произведение на средната допирателна компонента на вектора по посока на преминаване на контура — от дължината на контура.