Символичен метод за изчисляване на вериги с променлив ток

Символичен метод на операции с векторни величини се основава на много проста идея: всеки вектор се разлага на два компонента: единият — хоризонтален, минаващ по абсцисата, и вторият — вертикален, минаващ по ординатата. В този случай всички хоризонтални компоненти вървят по една права линия и могат да бъдат добавени с просто алгебрично събиране, а вертикалните компоненти се добавят по същия начин.

С този подход в общия случай се получават два резултантни компонента — хоризонтален и вертикален, които винаги са един до друг под един и същ ъгъл, равен на 90 °.

Тези компоненти могат да се използват за намиране на резултата, тоест за геометрично събиране. Компонентите под прав ъгъл представляват катетите на правоъгълен триъгълник, а тяхната геометрична сума представлява хипотенузата.

Можете също да кажете това геометричната сума е числено равна на диагонала на паралелограма, изграден върху компонентите, както и по страните му… Ако хоризонталният компонент е означен с AG, а вертикалният компонент — AB, тогава геометричната сума (1)

Намирането на геометричната сума на правоъгълните триъгълници е много по-лесно от наклонените триъгълници. Лесно е да се види, че (2)

става (1), ако ъгълът между компонентите е 90 °. Тъй като cos 90 = 0, последният член в радикалния израз (2) изчезва, в резултат на което изразът е значително опростен. Обърнете внимание, че една от трите думи трябва да бъде добавена преди думата „сума“: „аритметична“, „алгебрична“, „геометрична“.

Фиг. 1.

Думата «сума», без да посочва коя, води до несигурност, а в някои случаи и до груби грешки.

Припомнете си, че полученият вектор е равен на аритметичната сума на векторите в случая, когато всички вектори вървят по една права линия (или успоредни един на друг) в една и съща посока. Освен това всички вектори имат знак плюс (фиг. 1, а).

Ако векторите вървят по една права линия, но са насочени в противоположни посоки, тогава резултатът им е равен на алгебричната сума от вектори, в този случай някои членове имат знак плюс, а други знак минус.

Например, в диаграмата на фиг. 1, b U6 = U4 — U5. Можем също така да кажем, че аритметичната сума се използва в случаите, когато ъгълът между векторите е нула, алгебричен, когато ъглите са 0 и 180 °. Във всички останали случаи добавянето се извършва векториално, тоест геометричната сума се определя (фиг. 1, в).

Пример… Определете параметрите на еквивалентната синусоида за веригата Фиг. 2, но символично.

Решение. Нека нарисуваме вектори Um1 Um2 и да ги разложим на компоненти. От чертежа може да се види, че всеки хоризонтален компонент представлява стойността на вектора, умножена по косинуса на фазовия ъгъл, а вертикалата е стойността на вектора, умножена по синуса на фазовия ъгъл. В такъв случай

Фиг. 2.

Очевидно общите хоризонтални и вертикални компоненти са равни на алгебричните суми на съответните компоненти. В такъв случай

Получените компоненти са показани на фиг. 2, б. Определете стойността на Um за това, изчислете геометричната сума на двата компонента:

Определете еквивалентния фазов ъгъл ψeq. Фиг. 2, б, може да се види, че отношението на вертикалата към хоризонталната компонента е допирателната на еквивалентния фазов ъгъл.

където

Така получената синусоида има амплитуда 22,4 V, начална фаза от 33,5 ° със същия период като компонентите. Имайте предвид, че могат да се добавят само синусоиди със същите честоти, тъй като при добавяне на синусоидални криви с различни честоти получената крива престава да бъде синусоидална и всички понятия, приложими само за хармонични сигнали, стават невалидни в този случай.

Нека проследим още веднъж цялата верига от трансформации, които трябва да се направят с математическите описания на хармоничните форми на вълните при извършване на различни изчисления.

Първо, временните функции се заменят с векторни изображения, след това всеки вектор се разлага на две взаимно перпендикулярни компоненти, след което хоризонталните и вертикалните компоненти се изчисляват отделно и накрая се определят стойностите на получения вектор и неговата начална фаза .

Този начин на изчисляване елиминира необходимостта от графично добавяне (и в някои случаи извършване на по -сложни операции, например умножаване, разделяне, извличане на корени и т.н.) синусоидални криви и прибягване до изчисления, използвайки формулите на наклонени триъгълници.

Въпреки това е доста тромаво да се изчислят отделно хоризонталните и вертикалните компоненти на операцията. При такива изчисления е много удобно да имате такъв математически апарат, с който можете да изчислите и двата компонента наведнъж.

Още в края на миналия век е разработен метод, който позволява едновременно да се правят изчисления на числа, нанесени върху взаимно перпендикулярни оси. Числата по хоризонталната ос бяха наречени реални, а по вертикалната ос въображаема. При изчисляване на тези числа към реалните числа се добавя коефициент ± 1, а към въображаемите — ± j (прочетете „xi“). Извикват се числата, състоящи се от реални и въображаеми части комплекс, а методът на изчисления, извършен с тяхна помощ е символичен.

Нека обясним термина «символичен». Функциите, които трябва да бъдат изчислени (в този случай хармонични), са оригинали, а тези изрази, които заменят оригиналите, са изображения или символи.

При използване на символния метод всички изчисления се извършват не върху самите оригинали, а върху техните символи (изображения), които в нашия случай представляват съответните комплексни числа, тъй като е много по -лесно да се извършват операции върху изображения, отколкото върху самите оригинали.

След приключване на всички операции върху изображенията оригиналът, съответстващ на полученото изображение, се записва върху полученото изображение. По -голямата част от изчисленията в електрическите вериги се извършват с помощта на символния метод.